Окружность – одно из важнейших понятий в геометрии и математике, являющееся многогранником со всеми точками, равноудаленными от одной и той же центральной точки. Уравнение окружности позволяет описать ее положение на плоскости при помощи математической формулы. Одним из вариантов уравнения окружности является уравнение, заданное по двум точкам, лежащим на ней.
Формула уравнения окружности по двум точкам выглядит следующим образом: ${(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}$, где ${(x_1, y_1)}$ и ${(x_2, y_2)}$ – координаты двух точек на окружности.
Давайте рассмотрим пример использования данной формулы. Пусть нам даны точки ${(1, 2)}$ и ${(5, 6)}$, лежащие на окружности. Чтобы найти уравнение этой окружности, мы можем подставить значения координат точек в формулу и решить уравнение. В итоге получаем уравнение ${(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2}$.
Формула уравнения окружности
Уравнение окружности на плоскости можно задать с помощью формулы, которая определяет все точки окружности.
Формула уравнения окружности имеет следующий вид:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2,
где:
- (h, k) - координаты центра окружности;
- r - радиус окружности.
В уравнении окружности переменные x и y представляют собой координаты произвольной точки на плоскости. Если эта точка удовлетворяет уравнению окружности, то она принадлежит этой окружности.
Формула уравнения окружности позволяет найти все точки окружности, зная её центр и радиус.
Координаты точек на плоскости
Абсцисса определяет расстояние от точки до вертикальной оси, которая называется осью абсцисс. Ордината определяет расстояние от точки до горизонтальной оси, называемой осью ординат. Обычно ось абсцисс располагается по горизонтали и имеет направление слева направо, а ось ординат располагается по вертикали и имеет направление снизу вверх.
Координаты точек на плоскости могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Положительные координаты располагаются в правом верхнем квадранте плоскости, а отрицательные - в левом нижнем квадранте. Точки с нулевыми координатами находятся на осях.
Например, точка с координатами (3, 4) располагается на 3 единицы вправо и 4 единицы вверх от начала координат. Точка с координатами (-2, -5) будет располагаться на 2 единицы влево и 5 единиц вниз от начала координат.
Расчет радиуса окружности
Для рассчета радиуса окружности по двум заданным точкам на плоскости можно использовать формулу, связывающую расстояние между этими точками и радиус окружности.
Формула для расчета радиуса окружности по двум точкам на плоскости выглядит следующим образом:
r = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты заданных точек на плоскости.
Для примера, давайте рассчитаем радиус окружности по двум точкам: A(2, 3) и B(5, 7).
Подставим координаты точек в формулу:
r = √((5 - 2)2 + (7 - 3)2) = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки A(2, 3) и B(5, 7), равен 5 единицам.
Нахождение координат центра окружности
Для нахождения координат центра окружности, зная координаты двух точек на плоскости, можно воспользоваться следующей формулой:
Координата центра окружности по оси X:
xц = (x1 + x2) / 2
Координата центра окружности по оси Y:
yц = (y1 + y2) / 2
Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты заданных точек.
Найденные значения xц и yц представляют собой координаты центра окружности.
Например, если даны точки A(2, 3) и B(4, 5), то:
Координата центра окружности по оси X:
xц = (2 + 4) / 2 = 3
Координата центра окружности по оси Y:
yц = (3 + 5) / 2 = 4
Таким образом, центр окружности будет иметь координаты (3, 4).
Построение уравнения окружности
Для построения уравнения окружности по двум точкам необходимо провести серединный перпендикуляр между этими точками. Серединный перпендикуляр - это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
Пусть даны точки A(x1, y1) и B(x2, y2), а также серединная точка C(xc, yc). Вектор AC будем обозначать как вектор a, а вектор BC - как вектор b. Вектор a можно выразить как a = (x - x1, y - y1), а вектор b - как b = (x - x2, y - y2).
Теперь найдем серединную точку C(xc, yc), для этого нужно найти полусумму координат точек A и B. Формулы для нахождения серединной точки: xc = (x1 + x2) / 2 и yc = (y1 + y2) / 2.
Далее, найдем радиус окружности. Для этого нужно найти длину отрезка CA (или CB, так как эти отрезки равны). Длину отрезка можно найти по формуле: r = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2).
Итак, уравнение окружности по двум точкам A(x1, y1) и B(x2, y2) на плоскости будет иметь вид:
(x - xc)^2 + (y - yc)^2 = (r)^2
Данное уравнение позволит определить все точки, принадлежащие данной окружности.
Например, пусть A(2, 4) и B(6, 8) - две точки на плоскости. Найдем уравнение окружности, проходящей через эти точки.
Сначала найдем серединную точку C(4, 6): xc = (2 + 6) / 2 = 4, yc = (4 + 8) / 2 = 6.
Далее найдем радиус r: r = sqrt((x - 2)^2 + (y - 4)^2).
Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид: (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = (sqrt((x - 2)^2 + (y - 4)^2))^2.
Теперь мы знаем, как построить уравнение окружности по двум точкам на плоскости.
Примеры решения уравнения окружности
Ниже приведены несколько примеров решений уравнения окружности по двум заданным точкам на плоскости:
-
Пример 1:
Даны точки A(2, 3) и B(5, -1).
Для нахождения уравнения окружности, проходящей через эти точки, нужно использовать следующую формулу:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2.
Используя координаты точек A и B, получим систему уравнений:
- (2 - h)2 + (3 - k)2 = r2,
- (5 - h)2 + (-1 - k)2 = r2.
Далее, решив систему уравнений, найдем значения переменных h, k и r, которые будут определять уравнение искомой окружности.
-
Пример 2:
Даны точки C(0, 0) и D(4, 4).
Снова используем формулу уравнения окружности:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2.
Подставив координаты точек C и D, получим систему уравнений:
- (0 - h)2 + (0 - k)2 = r2,
- (4 - h)2 + (4 - k)2 = r2.
Решим систему уравнений и найдем значения h, k и r, определяющие уравнение искомой окружности.
-
Пример 3:
Даны точки E(1, 2) и F(6, 5).
Снова используем формулу уравнения окружности:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2.
Подставим координаты точек E и F в уравнение и получим систему:
- (1 - h)2 + (2 - k)2 = r2,
- (6 - h)2 + (5 - k)2 = r2.
Решим систему уравнений, чтобы определить уравнение искомой окружности.
Таким образом, решение уравнения окружности по двум точкам на плоскости требует решения системы уравнений для определения значений h, k и r.
