Окружность - это множество всех точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром. Однако, иногда нам интересно рассмотреть окружности, которые касаются заданной прямой через данную точку.
Для того чтобы найти уравнение такой окружности, нужно использовать особенности геометрии. Важно помнить, что окружность, касающаяся прямой через точку, будет иметь радиус, равный расстоянию от центра до этой прямой.
Таким образом, задача сводится к нахождению координат центра окружности и выражению радиуса через известные данные. После этого можно записать уравнение окружности в стандартной форме и решить задачу геометрически.
Теорема о касательной к окружности
Теорема утверждает, что касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке.
| Формулировка | Доказательство |
|---|---|
| Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу. | Пусть Т - точка касания, О - центр окружности, OR - радиус, ТО - касательная. Предположим, что ТО не перпендикулярна ОR. Тогда угол ТОR не прямой, но это противоречит определению касательной. Значит, ТО перпендикулярна ОR. |
Эта теорема играет важную роль в решении задач на геометрию, связанные с окружностями и их касательными.
Уравнение окружности в прямоугольных координатах
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Это уравнение показывает, что все точки (x, y) лежащие на окружности удовлетворяют данному уравнению. Чтобы нарисовать окружность с центром в точке (a, b) и радиусом r, можно построить все точки (x, y) удовлетворяющие уравнению.
Например, если центр окружности находится в точке (2, 3) и радиус равен 5, то уравнение окружности будет:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25
Касательная к окружности через внешнюю точку
Для построения касательной к окружности через внешнюю точку можно провести прямую, проходящую через внешнюю точку и центр окружности. Затем отложить от центра окружности радиус и провести перпендикуляр к прямой через эту точку. Этот перпендикуляр будет являться касательной к окружности.
Касательная к окружности через точку касания
Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке \(O\), а также дана точка \(A\) вне окружности. Нам нужно провести касательную к окружности через точку касания \(T\).
Как найти уравнение такой касательной? Для этого можно воспользоваться следующими шагами:
| 1. | Провести линию, соединяющую центр окружности \(O\) и точку касания \(T\). |
| 2. | Найти угол между радиусом и касательной \(OT\) – он будет прямым углом, так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. |
| 3. | Используя найденный прямой угол и координаты точки \(A\), можно определить уравнение касательной в общем виде. |
Таким образом, можно найти уравнение касательной к окружности через заданную точку касания. Этот метод полезен при решении задач на нахождение уравнения касательной к окружности в данной точке.
Доказательство теоремы
Для доказательства данной теоремы рассмотрим окружность с уравнением $x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$ и прямую, касающуюся данной окружности в точке $(x_0, y_0)$.
Пусть уравнение прямой имеет вид $px + qy + r = 0$. Сначала найдем уравнение внешней общей касательной к окружности и прямой. Для этого составим систему уравнений, учитывая, что касательная будет касаться окружности в точке касания:
Система уравнений:
$x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$,
$px + qy + r = 0$,
$(x_0, y_0)$ – точка касания.
Из условия касания складываем уравнения (1) и (2) и подставляем $(x_0, y_0)$:
$2ax_0 + 2by_0 + c + r = 0$.
Теперь подставляем уравнение прямой в уравнение окружности и используем условие касания. Получаем:
$(px_0 + qy_0 + r)^2 + 2ax_0 + 2by_0 + c = 0$.
Подставляем выражение для касательной из уравнения (2) и решаем полученное уравнение. При этом дискриминант должен быть равен нулю, так как прямая касается окружности. Отсюда получаем значения $p, q, r$ и, соответственно, уравнение прямой, касающейся окружности в точке $(x_0, y_0)$.
Примеры решения задач
Уравнение такой прямой имеет вид $3x - 2y - k = 0$, где $k$ - неизвестный коэффициент. Подставив координаты точки $P(1, 2)$, получим $3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 - k = 0 \Rightarrow 3 - 4 - k = 0 \Rightarrow k = -1$. Таким образом, уравнение искомой прямой $3x - 2y + 1 = 0$.
Теперь найдем координаты центра окружности. Центр окружности лежит на обеих прямых: данной $2x + 3y - 4 = 0$ и полученной $3x - 2y + 1 = 0$. Решив систему уравнений этих прямых, найдем, что центр окружности имеет координаты $(-11/13, 2/13)$.
Наконец, найдем радиус окружности. Расстояние от центра окружности до заданной прямой равно радиусу окружности. Подставив координаты центра, получим радиус окружности $r = \frac2 \cdot (-11/13) + 3 \cdot (2/13) - 4{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{1}{13}$.
Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид $(x + 11/13)^2 + (y - 2/13)^2 = (1/13)^2$.
